第八章间接路线（3/4）

虽然孟仞自诩数学水平还行，有把握花上个把月时间把刚刚讲的中心极限定理证明出来，但要让他现场推演，却是高估了他的数学能力。不过他早已预备了另一手：“要做出证明，还需预备一些引理，晚辈今日恐怕无法在现场给出完整的过程。”

馆首打圆场道：“既是研究计划，想必还没有完成，也不强求能在今日得到完整的证明了。不过必须要说明的是，你的数学直觉还是不错的。”其他人也大都赞许地点头。周先生讥讽了一句：“我看倒不如把他转到数学馆去。”但是并没有人理他。

“再说说你的引理。”匡先生说道。

“单纯称其为引理的话，诸位先生恐怕很难看出这条引理能用在证明的什么地方，晚辈也很难讲清楚。这样吧，我们设想一个应用场景：假设这条钟形曲线确实是正确的，那么曲线下面包围的面积代表什么呢？显然是总的概率。如果一群人做智力测验的平均分是一百零五分，平均差是五分，那么重新进行测试，他们的分数掉到一百分以下的概率是多少？”

众人哑然。

“现有的统计方法根本就没有在意这个概率，当然也不知道应该怎么计算这个概率——因此我才会说现在的统计方法有很大的漏洞。这也就是我要提出的研究计划之二：得出计算曲线下面积的通用方法。”

颜笙评论道：“感觉可以用跟‘割圆术’类似的方法。”

孟仞本来也不想直接提牛顿-莱布尼茨公式，因为他忘记了应该怎么证明。见颜笙提到了割圆术，他便顺着说了下去：“颜先生说得不错。我们可以把曲线和坐标轴围成的形状分割成很多个矩形，只要知道每个矩形的高度，就能算出整个形状的面积。但我要强调的是，所谓‘很多个’，指的是无穷多个，无限细分之后，我们才能够算出形状的准确面积，而不是估算。”

颜笙旁边的导师说道：“不管分得多细，总归是有误差的吧。”

孟仞摇头道：“无穷和有穷是截然不同的。无穷是只能趋近而不能达到的，当细分的次数无限趋近无穷时，矩形的宽度将小于所有的正数，面积的误差也将小于所有的正数。为了方便理解，我们可以将‘小于所有的正数’理解为‘零’。”